第100章 徹底解決剛性方程的辦法
之前通過係統對於【數學通感】這一能力的描述，林葉雖然能夠猜到這個能力會非常厲害，但是冇有體驗過，所以他並不知道能有多厲害。
但是現在，林葉就完全意識到了。
他的腦海中浮現出了之前周文淵跟他說的，他們如今所麵臨的那個剛性方程，即帶有剛性源項的雙曲/拋物型守恆律方程組。
大概長這樣：U/∂t=F（U） （1/ε）S（U）。
在這個方程中，F就代錶慢速流動項，S則代表著快速反應項。
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而林葉驚訝地發現，這兩個讓他們整個課題組都感到頭疼的物理運算元F，以及S，在他的眼中竟然逐漸重疊成了兩個抽象的代數符號：A和B。
一種前所未有的電流瞬間擊穿了他的神經中樞。
「這不僅僅是方程————這是兩個李代數的元素！」
林葉瞬間便意識到，這個A和B，並不是什麼普普通通的字母。
他纔在修煉空間裡苦修了40天的記憶，那些關於BCH公式、關於李括號、關於非對易幾何的抽象知識，此刻開始在他的腦海中掀起了一道猛烈的風暴。
得益於他修煉完成之後，這些知識的記憶都在係統的幫助下直接打包進了他的記憶當中，所以這些知識都清晰地儲存在他的腦子裡麵，想要忘記都難。
於是乎————
「剛性方程的難點在於快尺度和慢尺度的無法分離——」
「但如果是從李代數的視角看呢？」
林葉的童孔微微收縮，大腦飛速運轉。
「傳統的運算元分裂方法之類，實際上是在強行假設這兩個運算元是可交換的，也就是（A B）t
）≈e^（At）·e^（Bt）。但實際上，流動和反應是高度耦合的，它們不可交換！也就是說，李括號[A，B]≠0！」
「正是這個非零的李括號，導致了巨大的誤差，迫使我們不得不把時間步長縮得極小。」
「那麼——」林葉的心跳開始加速，「既然通用的剛性求解器不存在，那為什麼不針對這種「流動 反應「的特殊結構，利用BC州公式，專門構造一個隻針對這類方程的指數積分器呢？」
「不需要解決所有問題，隻需要利用李群的性質，把這兩個運算元的耦合誤差，用高階李括號項顯式地修正回來——」
「雖然目前還不知道具體該怎麼構建那個預處理運算元，也不知道該怎麼把這個無窮級數截斷，但——利用李群的結構保持特性，似乎真的可以繞過剛性壁壘！」
隨著這一連串的思路在林葉的腦海中浮現出來，他不由得張了張嘴。
這就是【在看似無關的數學領域之間發現深層同構的能力】嗎？
確實，不管是剛性方程，還是李代數，這兩者好像完全不同，但是現在，他卻能夠發現這兩者之間那隱秘的同構性。
林葉不由在腦海中回想起他的頭兩篇論文，他當初就是從這兩篇論文的結論中發現了一些隱藏的聯絡，之後才搞出了那個幫助到周文淵教授他們課題的邊界層對偶定理。
而那個隱藏的聯絡，他足足用了幾個月的時間才發現，而就連周文淵教授一開始都冇有意識到，即使是之後意識到，也冇有那麼容易就能夠挖掘出來。
而如今————
擁有了數學通感這個能力的他，如果放在當初的話，他一眼就能夠意識到那兩個結論之間存在著聯絡。
一時間，他不由在心中驚嘆。
這個能力，絕對是他從修煉空間中獲得過的最牛逼的能力一當然，如果不算他獲得的那百分百以上的數學能力提升的話。
忽然，就在這時，旁邊傳來了聲音。
「林葉，怎麼了？」周文淵問道，「看你好像想到了什麼的樣子？」
林葉從對數學通感效果的驚嘆中回過神來，看向周文淵，想了想後，他便開口道：「就是————
您剛纔說，我們課題現在麵臨的是一種，帶有剛性源項的雙曲/拋物型守恆律方程組對吧？」
「是的。」周文淵頷首，「有什麼問題嗎？」
「嗯————您提到的那個時間尺度的正交分解————我突然有了一點不成熟的想法。」林葉準備將自己剛冒出來的思路，跟周文淵說一說。
而聽到林葉這麼說，周文淵頓時便是眉頭一挑，露出了一個訝然的表情，林葉剛纔就是聽他講了講，就產生了想法？
「你說說看，大膽說就是了。我們的學術研究中，冇有所謂不成熟的想法，隻要你想到的這個方法是有一定邏輯性的，哪怕聽起來再怎麼艱難，那都說明你是動過腦子的。」
他當即便鼓勵道。
此外，他也很想知道林葉究竟是產生了什麼想法。
林葉點點頭，而後走到辦公室裡的白板前，拿起筆，先是在上麵寫下了他們當前所麵臨的那個剛性方程。
接著，他又在旁邊寫下了一個簡單的李括號符號[F，S]。
他轉過頭，對周文淵說道：「我在想，能不能引入李群的視角？如果我們把流動項和反應項看作李代數中的兩個元素。」
周文淵頓時一愣，林葉還懂李群？
他說道：「你繼續講。」
林葉點點頭，隨後便將自己剛纔產生的那些想法，和周文淵分享了一遍。
一開始，周文淵並冇有抱有太多期待，他最多隻是覺得，林葉竟然還懂李群及李代數，畢竟李群與李代數的學習難度相當高，即使是他們上京大學數學係，在本科階段一般也不會設定這門課程，最多就是在一些選修課程中會提到，而主要學習這門課的階段，都是研究生了。
然而，隨著林葉逐漸的講述，他對於李群及李代數的瞭解程度，越發給周文淵帶來震驚。
但更重要的是，林葉的思路，更是讓周文淵的目光逐漸變得嚴肅乃至凝重了起來。
就這樣，直到林葉的講述結束，周文淵沉默了片刻，凝視在白板上的那個李括號，神情變得異常複雜。
作為數學物理領域的頂尖學者，他自然不是對李群數值演演算法一無所知，事實上，幾何數值積分一直是計算數學的一個分支，其中就包含了李群積分器。
但他真正驚訝的是，這些東西是從林葉嘴裡說出來的。
「幾何數值積分————李群方法————」周文淵緩緩開口，語氣中帶著幾分難以掩飾的驚詫，「林葉，我是真冇想到，李群和李代數你都這麼瞭解，我很好奇，你是怎麼掌握到這種程度的？」
聽到這個問題，林葉頓時戲精附身，先是撓了撓頭，嘿嘿笑著說道：「其實也都是我平時通過看書學到的，像是本科數學階段的所有書，我都已經看完了，現在也已經開始學習研究生階段所要學習的知識了。」
「哦，對了！其實我最近還完成了一個關於李群和李代數方麵的成果，我能想出那些，大概也是因為我完成那項成果過程中學到的那些知識吧。」
聽到林葉這句話，周文淵的眼睛頓時又瞪大了，「你還完成了一個成果？」
林葉點點頭，「標題大概就是，《關於自由李代數中BCH級數係數的組合結構及其範數最優估計》。」
這正是他在修煉空間中完成的那篇論文。
這篇論文既然是自己憑本事研究出來的，那當然也要找個機會發表出去。
剛好趁這次機會和周老師說一下。
至於周文淵會不會去想他這篇論文是怎麼來的————
還是那句話，他憑本事搞出來的，就算是別人再怎麼吃驚，肯定會自己腦補出合理方式的嘛。
周文淵此時深呼吸了一口氣，而後才緩緩吐出。
自己一個上京大學教授，博士生導師，優青，未來的傑青、院士，居然因為眼前這個高中生而對自己這麼多年做出來的成就產生了一種懷疑感。
可怕，可怕。
算了，林葉雖然自己搞出了一篇論文出來，但是也未必是什麼非常有價值的成果，也許就像是當初他自己搞出來的那兩篇論文一樣，發個國核心心期刊，或者是sci二、三區的樣子吧。
於是他擺出了老師的架子，點點頭，表揚了一句：「不錯，能夠搞出一項成果，說明你對於李群和李代數有了自己的思考，等你把論文整理出來後，我幫你看看吧。」
「至於你剛纔說的那些東西————」
他站起身，走到白板前，看著那個李括號。
「你的思路，確實完全冇錯，特別是在理論上，李群和李代數確實是處理剛性的一種極佳視角，我很驚訝，你居然能夠發現這一點。」
周文淵的語氣鄭重起來，「很多數學家都嘗試過這條路，試圖利用李群的幾何性質來保持解的結構。」
周文淵轉過頭，看著林葉，眼中的讚賞之意愈發濃厚：「但是，你的切入角度非常刁鑽，冇有去套用那些通用的、複雜的李群龍格—庫塔格式，而是提出用BCH公式來專門修正流動與反應這兩個特定運算元之間的不對易誤差。」
「這個思路，非常清晰，也非常漂亮。」周文淵點了點頭，給予了肯定的判斷，「在數學邏輯上，它是完全自洽的。如果你能把這個修正項算出來，理論上確實可以在保持顯式效率的同時，大幅提高精度和穩定性。」
聽到周教授的肯定，林葉心中微微鬆了一口氣。
然而，下一秒，周文淵的話鋒突然一轉。
「但是，林葉。」周文淵的表情變得嚴肅起來，他重新坐回沙發上，手指輕輕敲擊著扶手，「雖然思路是通的，但你如果真的想沿著這條路走下去，把它變成一個可用的演演算法，大概率會碰到一些問題。」
林葉一怔：「您請說。」
周文淵豎起一根手指：「第一，BCH公式裡涉及到了矩陣指數的計算，也就是e^（At）。對於一個小矩陣來說，這很好算。但我們的流場有幾百萬個網格，每個網格有幾十個組分，想要直接計算它的矩陣指數，其計算量是天文數字，比直接解線性方程組還要慢得多。」
「第二，就是李括號的計算代價。」周文淵豎起第二根手指：「你要修正誤差，就要計算[F，S]。」
「在數學上，這等於計算AB和BA而已，冇有區別。但是在物理上，這意味著你要計算流體雅可比矩陣和化學反應雅可比矩陣的乘積。對於複雜的化學反應機理，這個雅可比矩陣極其稠密且複雜，每算一次李括號，對於計算機來說都是一種極大的負擔，而如果高階項太多，這個修正過程本身就會成為新的計算瓶頸。」
說到這裡，周文淵深深地看了林葉一眼，總結道：「所以，這個方法在理論上是完美的，但在工程實現上，往往因為計算代價過大而並不被接受，這也是它至今冇有在高超聲速CFD領域普及的原因。」
「你想做這個，就必須找到一種巧妙的方法，既能利用李代數的結構優勢，又能繞過這些昂貴的矩陣運算。」
「這其中的難度，我想即使不用我多說，你應該也能夠明白。」
周文淵說完，靜靜地看著林葉，似乎在等待他的反應。
這個年輕人是會知難而退？還是————
林葉聽完這番分析，眼中的光芒非但冇有黯淡，反而變得更加熾熱。
矩陣指數難算？李括號代價高？
隨著腦海中閃現過好幾種之前學習過的方法和知識，他的心中頓時就隱隱有了一些新的想法。
他的臉上露出笑容。
「謝謝周老師專門幫我分析了，雖然您說的這兩個問題可能確實存在，不過我還是挺想試一試的。」
周文淵的眼睛一瞪。
不是，你還真想試啊？
他算是看出來了，林葉現在是跟這個問題槓上了。
雖然從某種程度上來說，對於問題的堅持，是一種很不錯的習慣。
但是他們現在討論的這個問題，可是剛性方程問題，他們整個課題組都被這個問題給難住了。
早在之前的一場組會上，他們也討論過能否搞出一種數學理論，將這個問題給解決。
但是，當時得出的就結論就是，很難，非常難。
他們三位子課題負責人，以及陳景明院士都表示過，如非必要，就不要將時間浪費在這個方法上麵了，到時候未必能夠搞出什麼成果，還是老實走他們之前那種降維思路就行，穩紮穩打，至少搞出來的東西是看得到的。
再加上他們每位教授平時都有其他事情要忙，當然就更冇空把太多時間放在這種事情上麵了。
就比如周文淵，如果他手上隻有兩個專案的話，他可能還會嘗試一下，但是他現在手上可是有六個專案，那就隻能敬謝不敏了。
而林葉雖然不像是他們那樣事務繁忙，但對於他也想要嘗試這個方向，周文淵也是不支援的。
畢竟，像是林葉這樣有天賦的學生，完全冇必要在這個方向上麵鑽牛角尖，不如多學些其他知識，擴大一下知識麵，或者是從一些簡單的課題做起。
要是林葉因為在這個方向上麵久久研究不出東西來，到時候一個心灰意冷，甚至轉行跑路，那就等於又是一個數學天才的凋零了。
於是周文淵當即便勸說了起來。
「林葉，我是支援你這種態度的，但是吧，你真想要研究這個方向的話，當個興趣就行了————」
「————你不是馬上就要參加那個IMO，還有IPh0來著麼？你接下來還是專注於這兩個比賽上麵吧，為國爭光嘛！不比你死磕這個問題好？」
一陣好說歹說，甚至對於競賽不是很在意的周文淵，都開始讓林葉專心搞競賽了。
林葉也是一陣哭笑不得，他算是看出來了，周教授這是不相信他能夠做出那種成果出來。
但是人家也確實是在為自己考慮。
所以他也就索性在表麵上答應了下來，表示自己隻會當做一個興趣，不會在上麵花費太多時間了。
這才讓周文淵安心下來。