林軒看著蘇文淵如獲至寶般,將石桌上未乾的圖形與算式小心翼翼地謄抄到紙箋上,嘴角不自覺地揚起一絲笑意。那專注而虔誠的模樣,活脫脫一個初窺學問堂奧的學子,讓他這個“老師”頗有幾分成就感。
很快,蘇文淵謄抄完畢,墨跡未乾便迫不及待地抬起頭,眼中求知的光芒更盛,顯然已不滿足於解決一道題。
他將目光投向第二道題,眉頭又習慣性地微蹙起來:
“姐夫,這第二題……‘九條直線在空間相交,最多能產生多少個交點?’
實不相瞞,此題我苦思良久,隻能笨拙地一筆一筆去畫,嘗試了無數種排布,耗費了許多紙張,才隱約覺得答案似乎是‘三十六’。但若是在科場之上,時辰緊迫,哪裡容得我這般勾畫試錯?姐夫,此題……是否也有如方纔那般,直指核心的‘巧法’或‘公式’?”
林軒放下茶杯,看著小舅子那帶著些許懊惱又充滿期待的眼神,不由莞爾。他再次用手指蘸了些許茶水,在石桌空處邊寫邊解釋:
“文淵,你可知,此類問題在算學中,可歸為‘組合’之思。對於此類問題,確有一個簡潔的公式可求。”
他用茶水清晰地寫下:
C(n,2)
=
n
×
(n-1)
÷
2
並在旁邊標註,解釋道:“此處n即直線條數,C(n,2)意為從n條線中,任取兩條的組合數,因為每兩條不同的直線相交,便產生一個交點。”
他指向題目中的數字“9”:“此題中,九條直線,即n為9。代入公式:9
×
(9-1)
÷
2
=
9
×
8
÷
2
=
72
÷
2
=
36。結果就出來了。”
蘇文淵的瞳孔驟然收縮,眼眸因極度的震驚和恍然而微微顫動!他死死盯著那行用水漬寫就、簡單到近乎不可思議的算式,又抬頭看看林軒平靜的麵容,隻覺得一股酥麻感從尾椎骨直衝頭頂!
【就……就這麼簡單?!】
【一個式子,寥寥數筆,幾息之間,答案自現?!】
【那我之前絞儘腦汁、畫廢了無數張紙、試圖窮舉所有可能排列的日夜……算什麼?】
巨大的認知衝擊讓他聲音都帶上了不易察覺的顫抖:“姐、姐夫……這……這便是‘公式’之力?如此……如此複雜的窮舉難題,竟能化為這般簡潔的定式?那……若是一百條直線,一萬條直線,莫非……莫非也可如此瞬間得解?”
林軒肯定地點頭:“自然。公式之美,便在於其普適性。隻要符合‘兩兩相交、無三線共點’之前提,無論直線數目幾何,皆可套用此式,瞬間得知最大交點數目。這便是係統算學與零星技巧之彆。”
蘇文淵恍惚地點了點頭,彷彿推開了一扇通往全新世界的大門,門後是井然有序的公式森林,每一條路徑都指向一個曾經需要跋山涉水才能抵達的答案。
但隨即,他敏銳的思維立刻捕捉到了題目中另一個關鍵詞,疑惑再生:
“可是姐夫,題目所言乃是‘在空間相交’。直線若在空間之中,便有‘異麵’之可能。異麵直線永不相交,那豈非……實際能產生的交點數,可能比這‘36’更少?我們求‘最多’,是否應慮及此種情形?”
“問得好!”林軒眼中閃過讚賞一絲光彩,“你已觸及此題第二個關鍵——對‘空間’與‘最多’的理解。”
他用手在方纔的公式旁,虛畫出幾條線的走向:“題目所求,是‘最多能產生多少個交點’。這意味著,我們需要尋找一種最優的排布方式。如果存在異麵直線導致不相交,那顯然無法達到‘最多’。因此,要達到最大值,我們必須主動避免異麵情況,甚至要避免多條線交於同一點。”
他蘸水,在石桌上快速勾勒出一個簡單的三維座標係示意,並想象般地在空中比劃:“我們可以設想一個特殊的曲麵,比如一個馬鞍形的雙曲麵,或者更靈活地去思考——在廣闊的三維空間中,我們有足夠的自由,將這九條直線‘安排’在一種巧妙的位置上:讓它們全部兩兩相交,同時確保任意三條都不通過同一個交點。這在三維空間中是完全可以實現的,儘管在現實中不易構造,但在數學意義上絕對可行。”
蘇文淵緊盯著林軒的手勢和那抽象的座標係,腦中飛速運轉,思考著這種“安排”的可能性。片刻,他眼中迷霧驟散,迸發出領悟的光芒:
“我明白了!為了達到‘最多’,我們反而要‘放棄’一部分空間給予的‘異麵自由’,主動將它們‘約束’在一種能夠兩兩相交的構型裡!而這種構型能達到的最大交點數,恰恰與將它們全部置於同一個理想平麵內、且滿足兩兩相交無三線共點的情形——一模一樣!所以,答案依然是36!”
“正是如此!”林軒用指尖在“36”這個數字上重重一點,水漬暈開,彷彿為這個答案蓋上了認可的印章。
“這道題的關鍵,在於思維的彈性。‘空間’給了我們更多可能,但為了達到‘最多’,我們反而要主動約束它們,迴歸到一種最優的平麵佈局。有時候,真正的自由,是為了目標而選擇的恰當約束。”
婉娘靜靜聽著,似有所感,喃喃自語,真正的自由,是為了目標而選擇的恰當約束。
蘇文淵怔怔地坐在那裡,良久無言。
石桌上的水漬漸漸蒸發,那些圖形與公式卻已深深鐫刻在他的腦海。
十多息後,他緩緩起身,整理衣冠,對著林軒深深一揖:“姐夫今日教誨,如醍醐灌頂,撥雲見日。文淵……感激不儘!這‘代數’之巧,‘幾何’之形,‘組合’之簡,‘空間’之思……令文淵始知算學天地,竟如此浩瀚精妙!以往所學,不過管中窺豹。懇請姐夫日後,不吝繼續指點!”
林軒虛扶他起身,笑道:“學問之道,貴在持之以恒,樂於思索。你有此心,甚好。日後有時間,我們可慢慢探討。”
婉娘在一旁,雖未能儘解其中深奧,但見蘇文淵如此振奮,眼中重現銳意與光彩,心中亦是歡喜無限。
她看向林軒的目光,也充滿了感激。但終究是好奇,指了指桌上那些符號,“林先生,這些符號是什麼?是你獨創的嗎?”