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第26章 出征CMO

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出征的日子來了。

十一月十二日,清晨。

臨安國際機場的出發大廳裡,浙江省CMO代表隊的25名隊員。

這是徐辰第一次坐飛機。

帶隊的張建國顯然經驗豐富,將整個登機流程安排得井井有條。

徐辰坐在靠窗的位置,感受著飛機在跑道上加速時傳來的強烈推背感,以及最終掙脫大地束縛、衝上雲霄時的輕微失重。

這種新奇的體驗,讓他的注意力在窗外停留了大約十分鐘。

十分鐘後,當飛機進入平流層,窗外的景色隻剩下了一成不變的藍天和白雲時,新鮮感迅速褪去。

無聊,開始悄然滋生。

徐辰的思維,自然而然地,飄回到了一直在思考的那道數學題上。

那道懸賞300元的組合幾何題。

【證明:存在一個由其中3個點構成的三角形,其外接圓的內部,不包含任何其他給定點。】

【常規解法利用了『極值原理』,其本質是『緊緻性』。】

【那麼,能否繞開這種分析學的思路,用更純粹的組合或者幾何方法來證明?】

他的大腦,開始在冇有草稿紙的情況下,進行「空想」推演。

【假設,我們對這n個點進行一種『生長』過程。想像每個點都是一個圓心,初始半徑為0,然後所有圓以相同的速度,同步開始擴大半徑……】

【這個過程,就像在平靜的水麵上同時投入n顆石子,激起n個不斷擴大的同心圓漣漪。】

【當某兩個圓的漣漪第一次相切時,連線它們的圓心,得到一條線段。這條線段的垂直平分線,就是這兩個點『勢力範圍』的分界線。】

【當某三個圓的漣漪第一次同時交於一點時,連線它們的圓心,得到一個三角形……這個交點,就是這個三角形的外心!】

一個全新的、基於「維諾圖」和「德勞內三角剖分」思想的雛形,在他的腦海中,緩緩構建起來。

【這個由『第一次相交』的三個點構成的三角形,它的外接圓內部,不可能包含其他點。因為如果包含,那個被包含的點所對應的圓,必然會更早地與這三個圓中的某一個相交。這就與『第一次』相矛盾了!】

【這個思路似乎可行,但需要嚴格的數學語言來證明……】

兩個小時的航程,轉瞬即逝。

當他們走出武漢天河機場,一股與臨安截然不同的、略帶濕冷的空氣撲麵而來。

CMO的承辦方——武鋼三中派來了大巴車接站。

領隊老師帶領著隊員們,順利入住安排好的宿舍。

……

第二天,是開幕式。

在武鋼三中那足以容納千人的大禮堂裡,來自全國31個省、市、自治區的510名頂尖數學少年,齊聚一堂。

冗長但必要的領導講話,讓徐辰對CMO有了更清晰的認識。

一位來自組委會的領導站在台上,聲音洪亮而嚴肅:

「同學們,首先歡迎大家來到英雄的城市武漢,參加本年度的中國數學奧林匹克,也就是CMO。在座的各位,都是從全國數百萬高中生中脫穎而出的佼佼者,你們代表了中國中學生數學的最高水平。」

「在這裡,我要向大家詳細介紹一下CMO的賽製和意義。CMO不僅僅是一場考試,它更是一場選拔。它的全稱,叫做『全國中學生數學冬令營』。『冬令營』這三個字,就說明瞭它的本質——集訓和選拔。」

「本次冬令營,為期五天。核心是明後兩天的兩場考試。每場考試,從上午八點到中午十二點半,持續四個半小時,你們需要解答三道大題。這六道題,將全麵考察你們在代數、幾何、數論、組合這四大領域的知識深度和創新能力。」

「根據你們的總成績,我們將評選出金、銀、銅牌。獲獎比例大約在70%左右,也就是說,在座的大部分同學,都能帶著獎牌回家。但是,獎牌的成色,將決定你們未來的道路。銅牌,是對你們進入全國決賽的肯定;銀牌,將為你們敲開頂尖大學自主招生的大門;而金牌,則意味著你們將站上金字塔的頂端。」

「每年的金牌數量並不固定,但通常在百枚左右,上下浮動。這意味著,你們需要在510名頂尖高手中,排進前20%,才能確保一枚金牌。競爭,將會非常激烈。」

「而金牌,還不是終點!」領導的語氣加重了,「在所有金牌選手中,總分排名前六十位的同學,將被直接選入國家集訓隊!這,纔是CMO的真正目的!」

「進入國家集訓隊,你們將接受國內最頂尖的教練團隊的指導,並經過兩輪更為嚴苛的考試選拔,最終,決出六位最優秀的選手,組成中國國家隊,代表我們的國家,去參加明年的IMO——國際數學奧林匹克競賽!」

「從省賽,到國賽CMO,再到國際賽IMO,這纔是每一位數學競賽人所追求的、完整的大滿貫之路!你們的戰場,不僅僅是這張試卷,你們的目標,是星辰大海,是為國爭光!」

這番話,讓台下的少年們熱血沸騰。

開幕式的壓軸環節,是一位頭髮花白、精神矍鑠的數學院士的演講。當這位院士走上台時,徐辰明顯感覺到,身邊的帶隊老師們,甚至會場的工作人員,都下意識地挺直了腰板,眼神裡充滿了敬意。

約炮!

檢視附近正在尋找炮友的女人!

約嗎?

徐辰第一次親眼見到院士,那種不怒自威的學術氣場,那種寥寥數語便能將深奧的數學思想講得深入淺出的功力,讓他真切地感受到了「泰鬥」二字的分量。

整個過程,莊重而又充滿了儀式感。光是講話與合影留念,就占去了一整個上午。

下午,則是熟悉考場和校園自由交流。

……

當天晚上,張老師再一次將所有隊員召集到會議室,進行最後的戰前動員。

「明天早上,七點準時起床,七點半再去一號食堂吃早餐,不許遲到!」

「八點鐘,我們準時從宿捨出發,步行前往考場。身份證、準考證,今天晚上就給我放到文具袋裡!」

「考完之後,不要在考場逗留,直接回到酒店大堂碰頭,我會在這裡等你們。不許討論題目!」

張老師事無钜細地強調著每一個細節,讓隊員們緊張的心情,也平復了不少。

會議結束後,徐辰回到了自己的宿舍。

因為浙江隊是25人,單出了一個,徐辰便主動申請了單間宿舍。對於這位滿分狀元,張老師自然也是有求必應。

徐辰洗漱完畢,躺在床上,卻毫無睡意。

他又想起了那道組合幾何題,以及自己在飛機上構建的那個「圓生長」模型。那個直觀的、物理影象般的思路,始終在他腦海中盤旋,讓他心癢難耐。

他翻身下床,拿出草稿紙,開始將那個模型,轉化為嚴謹的數學語言。

【設點集為 P ={p₁, p₂,..., pₙ}。對於平麵上任意一點 x,和任意一個 pᵢ∈ P,定義一個距離函式 d(x, pᵢ)。】

【現在,考慮一個『時間』變數 t≥ 0。對於每一個點 pᵢ,我們可以定義一個以它為圓心,半徑為√t的閉圓盤 B(pᵢ,√t)。】

【我的思路是,找到第一個『時間點』 t₀,使得某三個圓盤 B(pᵢ,√t₀), B(pⱼ,√t₀), B(pₖ,√t₀)恰好交於一點。這個交點,就是△pᵢpⱼpₖ的外心。】

筆尖在紙上飛速地劃過,一個個符號,一行行推導,讓那個模糊的思路,變得越來越清晰。

【問題在於,如何嚴格證明這個『第一次』相交的時刻 t₀一定存在,並且是唯一的?】

【這涉及到連續性的問題。可以構造一個函式 g(t)= min_{i≠j≠k} R(pᵢ, pⱼ, pₖ),其中 R是三個點的外接圓半徑。當 t增加時,這個函式……】

他的思路在這裡卡住了。

他感覺自己已經抓住了問題的核心,就像一個登山者,已經看到了山頂的旗幟,甚至能感受到山頂的風。但腳下,卻隔著一道看不見的、深不見底的裂縫。

他需要一座橋樑,一個關鍵的引理,或者一個巧妙的轉換,來跨過這道裂縫。

他嘗試了反證法,假設在 t₀時刻,外接圓內部包含了另一個點 pₗ。這意味著|x₀- pₗ|<|x₀- pᵢ|,其中 x₀是外心。這似乎能匯出矛盾,但推導過程卻異常繁瑣,並且涉及到了複雜的幾何不等式。

【不對,一定有更簡潔的方法。】

他看著草稿紙上那堆複雜的符號,感覺自己似乎走偏了方向。

他看了一眼手機上的時間,已經快十一點了。

【算了,明天還要考試。】

他深吸一口氣,強行中斷了推導,將那張寫滿了符號的草稿紙,小心地夾進了書裡。

收起雜念,關燈,睡覺。

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