第81章 連續模方法
時間很快過去，一直到了除夕的前一天，學校正式放假。
假期倒是也有個一週。
於是所有學生都坐上了回家的大巴，準備迎接新年。
「嗯，終於到家了。」
林葉背著書包，站在了家門口，隨後便敲響了門。
很快，門便開了。
而開門的人正是林欣，她老早的時候就回來了。
「喲，小老弟，回來啦？還以為你不打算回家過年了呢。」
門一開，林欣便調侃了一句。
林葉翻了個白眼，「神特麼不打算回家過年。」
回到家，他可懶得跟林欣寒暄什麼的，直接就進入了自己的房間，先是將書——
包放好，他便直接趴在了床上，掏出手機，準備放鬆放鬆。
不過隨著螢幕亮起，他就看見那位上京大學的張濤學長給自己發了個訊息過來。
他們兩人當初就加了聯絡方式，不過因為林葉平常在學校用不了手機，因此相互之間交流的倒是很少。
張濤：【林學弟，周老師那邊已經把論文寫好了，讓我把原稿發給你。】
張濤：【《論通過壁麵可觀測值對可壓縮邊界層遠場漸進行為的唯一重構》
pdf】
看著這個全新的標題，林葉也是眉頭一挑，真是格外具有學術衝擊力啊。
他先是回復了一句：【收到，謝謝張學長】
而後便將PDF檔案下載了下來，開啟之後，開始檢視起這篇新的論文。
論文裡麵就是全英文的了。
不過對於如今的林葉來說，閱讀起來倒是全無難度，基本也就是某些冇見過的專有名詞還是需要翻譯一下，但是也已經十分少了，特別是他現在也已經開始學習起了英文原著的數學書—一學校說他想買什麼書，學校全給報銷這件事情，他可冇有忘記。
正如周文淵之前所說的，這篇論文在保留了林葉核心的【邊界層對偶定理】
的數學骨架基礎上，進行了其在應用方麵的拓展。
周文淵引入了經典的Illingworth—Stewartson變換，將林葉原本基於不可壓縮模型的理論，巧妙地推廣到了可壓縮流動中，更重要的是，他在論文的後半部分，加入了整整兩章的應用與驗證部分。
在這兩章裡，周文淵使用了他們課題中關於高超聲速駐點流動的計算資料，當然，論文裡隱去了專案具體資訊，隻說是數值算例。
圖表中清晰地展示了：當輸入數值模擬得到的、帶有週期性振盪的熱流資料Nu（t）後，利用林葉的定理反向解出的漸進行為β（t），呈現出了極其乾淨的單一頻率波動，而這個頻率，與理論計算出的激波後聲波頻率完美吻合！
這直接證明瞭該理論在解決實際工程中機理溯源問題的強大威力。
「不愧是周教授————」林葉心中感嘆一聲。
這樣一來，他的數學定理頓時就具有了一個切實可行的應用背景。
他退出文件，給張濤再次回了訊息。
林葉：【不愧是周老師啊！增加的應用部分簡直是點睛之筆，麻煩學長替我謝謝周老師了。】
張濤幾乎是秒回：【嗐，跟我客氣啥。周老師對這篇論文可是上心得很，改了不下五遍，聽他說你們這篇準備投AMM，真的很爽了，AMM在我們這個領域稱得上是T2級別的期刊，你這下真是舒服了，還冇上大學就能夠有一篇Q1，簡直無敵】
林葉：【哈哈，那就好。對了學長，明天就是除夕了，你還在實驗室？】
張濤發了一個湯姆攤手的表情包：【雖然冇在實驗室，但也是上個周纔回家的。不過也別提了，得虧我隻是數學博士生，要換成其他生化環材的老哥，年都別想好好過。】
【而且我手上同時進行三個課題，現在有一個課題要是再不完成的話，等明年就有的忙咯。】
林葉有些好奇，之前在上京大學的時候他倒是也聽張濤提過一嘴他的課題：
【還是之前那個偏微分方程的課題嗎？】
張濤：【是啊，就是那個二維臨界表麵準地轉方程的全域性正則性問題。這玩意兒簡直有毒！】
張濤似乎是久了，也不管林葉能不能完全聽懂這種具體的細分方向，忍不住開啟了吐槽模式：
【我現在的困境是，我想證明在臨界耗散的情況下，解是全域性光滑的。我嘗試用能量估計法去控製梯度的增長，但是非線性項裡的那個裡斯變換太噁心了，它的交換子估計我一直做不好。每次算到最後，不等式右邊的項總是比左邊的耗散項高一階，根本閉合不了！】
【我都卡了三個月了，下學期再搞不出來的話，我畢業課題都冇時間搞，到時候鐵定延畢，真的是mmp。】
看著螢幕上張濤發來的大段吐槽，林葉微微一愣。
二維臨界表麵準地轉方程？
也就是SQG方程。
這個方程他在上次的數學物理修煉空間的資料裡學習過，它雖然是二維模型，但在數學結構上與三維歐拉方程驚人地相似，是偏微分方程領域極其熱門的研究物件。
而自從在那次的修煉空間中學習了一大堆的知識之後，他就有一段時間冇有好好研究過偏微分方程和流體力學這方麵的問題了。
於是乎，張濤說的這些東西，就讓他的腦子裡麵自動轉了起來。
「臨界耗散————梯度估計·————交換子無法閉合————」
林葉趴在床上，閉上眼睛，腦海中那已經來到105%提升的數學能力開始飛速運轉。
如果不使用能量估計法呢？
對於這種臨界情況下的梯度控製，傳統的能量積分往往會失效，因為臨界意味著耗散剛好夠用，容不得半點浪費。
突然，一個極其冷門但精妙的技巧在他的腦海中浮現。
「連續模方法————」
林葉猛地睜開眼睛，手指在螢幕上快速敲擊起來。
林葉：【張學長，關於臨界SQG的梯度估計，你是不是一直試圖直接估計L^p
範數或者Sobolev範數？】
張濤：【對啊！不都是這麼做的嗎？】
林葉：【要不你換個思路？不要直接估計範數。試一下Kiselev—Nazarov—
Volberg提出的連續模方法？】
林葉：【具體的思路是，你不去證明梯度的範數不爆炸，而是證明解θ（，t）
始終保持某種特定的連續性模ω（ξ）。如果能構造出一個特殊的模函式，使得它滿足即便在非線性項最壞的拉伸情況下，耗散項依然能壓製住這種破壞，那麼解就一定是全域性光滑的。】
林葉：【這種方法不需要精細的交換子估計，它把積分不等式的問題轉化成7一個關於模函式的一維常微分不等式問題。對於臨界耗散，這應該比能量法更有效。】
發完這段話，林葉就冇有再多說什麼，畢竟他也隻是提供一個思路。
就像是當初他能夠把那篇論文解決，也是張濤給他推薦的那本書帶來的靈感，現在就當是還一次張濤當初幫的那個忙。
然而，手機那頭的張濤，卻足足沉默了五分鐘。
他死死盯著電腦螢幕上的「連續模方法」這幾個字，瞳孔劇烈震動。
他立馬切換到瀏覽器，在搜尋框裡輸入了這個關鍵詞。
幾篇相關的頂級數學論文跳了出來，雖然是用於其他方程的，但其核心思想與林葉描述的一模一樣。
「把積分估計轉化成一維常微分不等式————」張濤喃喃自語，大腦飛速推演O
如果用這個方法，那個讓他痛不欲生的裡斯變換交換子，確實就被巧妙地繞過去了！
「臥槽————」
「好像還真可以？！」
張濤震驚了。
他糾結了那麼久的問題，就被那位高三學弟給解開了？
這位學弟短短一個月冇見，又完成了一次超進化？
他顫抖著手，重新切換到了聊天框，回復了一句：【我這幾天就試試！】
【要是真成功了，我回頭給你磕一個】
林葉哭笑不得地回覆：【不至於不至於，您還是先好好過年吧！】
【我也提前說一聲新年快樂了。】