【第40章 競賽集訓第一課，再次降維打擊】
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週六上午,京市一中數學競賽集訓教室。
閻正站在講台上,目光掃過下方十幾個學生。
“今天是集訓第一課。”
他停頓半晌，語氣涼了幾度。
“我不管你們是怎麼進來的，在這裡，隻有實力說話。”
顯然，某些人把關係戶塞進集訓隊的事兒，讓他很不爽。
教室裡安靜下來。
陸安安坐在第二排,手指輕輕摩挲著筆桿。
【終於進來了。】
【接下來,就等陸昭昭出醜。】
她側頭看向最後一排。
陸昭昭坐在角落,麵前攤開一本《數論導引》,目光平靜地掃過書頁。
閻正轉身在黑板上寫下一道題:
“設p為大於3的質數,證明:p²-1能被24整除。”
教室裡響起筆尖劃過紙張的聲音。
陸安安盯著題目,腦海中快速搜尋記憶。
【這道題我見過。】
【上一世省賽真題,用費馬小定理和同餘性質。】
她深吸一口氣,開始在草稿紙上推導。
十分鐘後。
閻正放下粉筆。
“誰做出來了?”
陸安安舉起手。
閻正眉毛微挑。
“陸安安,你上來講。”
陸安安站起身，走到講台前，拿起粉筆。
“因為p是大於3的質數，所以p不能被2和3整除。”
她在黑板上寫下第一行。
“p是奇數，考察p模8的情況：p≡1,3,5,7(mod 8)。”
她繼續推導。
“計算可得p²≡1(mod 8)。同理p²≡1(mod 3)。”
“由於gcd(8,3)=1，根據華夏剩餘定理，p²≡1(mod 24)。”
“因此p²-1能被24整除。”
閻正點點頭。
“思路正確，但表述可以更嚴謹。”
陸安安臉上浮現出笑容,轉身走回座位。
【陸昭昭還在看書。】
【她肯定做不出來。】
閻正看向最後一排。
“昭昭,你做出來了嗎?”
陸昭昭合上書,抬起頭。
“做出來了。”
閻正點點頭。
“你也上來講講。”
陸昭昭站起身,走到講台前。
\"我想到了三種思路。\"
教室裡安靜下來。
陸安安手指一緊。
【三種？】
陸昭昭拿起粉筆,在黑板上寫下第一行。
“第一種,因式分解。p²-1=(p-1)(p 1)。”
她的筆尖快速移動。
“p是大於3的質數,則p-1和p 1是兩個連續偶數,其中必有一個被4整除,另一個被2整除,所以(p-1)(p 1)能被8整除。”
她頓了頓。
“又因為p不能被3整除,所以p≡1或2(mod 3),則p-1或p 1能被3整除。”
“綜上,p²-1能被24整除。”
閻正點點頭。“繼續。”
陸昭昭擦掉第一種方法,寫下第二行。
“第二種,同餘類討論。p＞3,則p≡1或5(mod 6)。”
她的推導速度更快了。
“當p≡1(mod 6)時,p²≡1(mod 24)。”
“當p≡5(mod 6)時,p²≡25≡1(mod 24)。”
“所以p²-1≡0(mod 24)。”
教室裡響起倒吸冷氣的聲音。
陸安安的手指攥的生疼。
【她怎麼可能想的這麼快?】
閻正看向陸昭昭。
“第三種呢?”
陸昭昭放下粉筆,拿起另一支不同顏色的粉筆。
“第三種,直接驗證。”
她轉身麵對黑板。
“質數p＞3,則p=6k±1的形式。”
“當p=6k 1時,p²-1=(6k 1)²-1=36k² 12k=12k(3k 1)。”
“3k與3k 1中必有一個為偶數,所以12k(3k 1)能被24整除。”
“當p=6k-1時,同理可證。”
教室裡鴉雀無聲。
陸昭昭轉身走回座位。
陸安安的臉色慘白。
【不可能。】
【她怎麼能想到這麼多方法?】
閻正看著黑板上三種解法,眼中閃過讚賞。
“三種方法各有特點。第一種直觀,第二種係統,第三種嚴密。”
他轉身在黑板上寫下第二道題。
“下一題:證明存在無窮多個形如4k 1的質數。”
教室裡安靜下來。
陸安安盯著題目,腦海中一片空白。
【這道題……】
【我冇見過。】
她側頭看向陸昭昭。
陸昭昭已經在草稿紙上寫下第一行。
十五分鐘後。
閻正放下粉筆。
“這道題有一定難度,你們能做到哪一步,就做到哪一步。”
教室裡隻有沙沙的寫字聲。
又過了十分鐘。
閻正看向全班。
“誰有思路?”
閻正直接看向最後一排。
“陸昭昭?”
陸昭昭放下筆。
“我寫了一個證明,但用到了一個結論,不確定是否超出競賽範圍。”
閻正點點頭。
“你先講講思路。”
陸昭昭走到講台前,拿起粉筆。
“我用反證法。假設形如4k 1的質數隻有有限個,設為p₁,p₂,…,pₙ。”
她的字跡工整。
“構造數N=(2p₁p₂…pₙ)² 1”
“注意到N≡1(mod 4),所以N是4k 1型的。”
她繼續寫道:
“N＞1,必有質因子。設q是N的任一質因子。”
“如果q=2,則2|(2p₁p₂…pₙ)² 1,但(2p₁p₂…pₙ)²是偶數,加1是奇數,矛盾。”
“所以q是奇質數。”
“如果q是4k 3型的,那麼N的所有質因子都是4k 3型,則N也是4k 3型,與N≡1(mod 4)矛盾。”
“所以q必是4k 1型的質數。”
她停頓了一下。
“但q不在{p₁,p₂,…,pₙ}中,因為N除以任何pᵢ都餘1。”
“這與假設矛盾。所以形如4k 1的質數有無窮多個。”
陸昭昭放下粉筆。
“但這個證明用到了'4k 3型質數的乘積還是4k 3型'這個性質,需要單獨證明。”
閻正點點頭。
“這個證明思路是對的。你提到的那個性質確實需要證明,不過很簡單:(4a 3)(4b 3)=16ab 12a 12b 9=4(4ab 3a 3b 2) 1,所以兩個4k 3型數的乘積是4k 1型。這說明如果N的所有質因子都是4k 3型,N就不可能是4k 1型。”
他轉身麵向全班。
“陸昭昭的證明用到了數論中的構造法和反證法,思路很清晰。這類證明在競賽中經常出現,大家要好好體會。”
閻正看了一眼時間。
“今天的課就到這裡。”
他掃視全班。
“回去後好好複習今天講的內容,特彆是同餘的性質和因式分解的技巧。下週會有測試。”
學生們陸續收拾東西離開。
陸安安走到門口,回頭看了一眼。
陸昭昭正在整理書包,表情平靜。
【該死……】
【她不僅會做,還能講得這麼清楚。】
陸安安咬了咬嘴唇,快步走出教室。
走廊裡,幾個競賽組的男生聚在一起。
“陸昭昭也太厲害了吧,一道題能想出三種方法。”
“是啊,而且每種方法都講得特彆清楚,我全聽懂了。”
“不過她平時看起來挺冷淡的,不太好接近。”
陸安安路過時,聽到這些話,臉色更加難看。
她加快腳步,走向教學樓。
拐角處,沈逸正倚在牆邊等她。
“安安。”
他走上前。
“怎麼樣?第一天集訓還習慣嗎?”
陸安安勉強笑了笑。“還好。”
沈逸看出她情緒不對。
“怎麼了?是不是有人欺負你?”
陸安安搖搖頭。“冇有,隻是……”
她頓了頓。
“姐姐她在競賽組表現得很好,大家都很佩服她。”
沈逸皺眉。
“陸昭昭?她能有多好?”
陸安安低下頭。
“她用了三種方法解同一道題,每種方法都很完整,講得也很清楚。閻老師一直在誇她。”
沈逸愣住。
“什麼?”
陸安安抬起頭,眼中帶著委屈。
“沈逸哥哥,我覺得自己好冇用。”
“我明明那麼努力,可還是比不上她。”
她停頓了一下,臉色為難的說：
“對了,我昨天晚上回家的時候,看到姐姐在房間裡看數學競賽試題。”
沈逸眼神一動。
“什麼試題?”
陸安安好像在回憶著。
“好像就是今天閻老師講的那些題目。我看到她草稿紙上寫的數字和今天黑板上的很像。”
沈逸的表情變得微妙。
“你確定?”
陸安安點點頭。
“應該冇錯。我看到她在寫關於質數的證明,今天閻老師就講了那道4k 1質數的題。”
沈逸眼中閃過一絲深意。
“看來陸昭昭隻是運氣好,提前看過題而已。”
“等真正比賽的時候,她肯定會露餡。”
陸安安咬著嘴唇。“可是萬一……”
“冇有萬一。”
沈逸打斷她。
“我相信你，你纔是最棒的！”
陸安安看著他,眼眶微紅。“謝謝你,沈逸哥哥。”
沈逸揉了揉她的頭。
“走吧,我陪你去吃飯。”
兩人並肩走向食堂。