【第149章 計算機雛形】
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興威三十三年（1381年），東宋清華書院的大師貝奇，心中萌生了一個大膽的想法——建造一台大型差分機。
彼時的東宋，航海、工程、天文等領域的發展日新月異，這些領域的精準推進，高度依賴三角函式表、對數表等各類數學用表，每一個資料的精準度，都直接關係到各項事業的成敗。
然而，當時所有的數學用表，全靠人工計算、手工謄寫而成，即便計算者、謄寫者萬分謹慎，也幾乎無法避免出現微小的數字錯誤。
可誰也冇想到，就是這樣一個看似不起眼的微小錯誤，往往會引發難以挽回的後果：可能導致航船在茫茫大海中迷失方向，最終葬身海底；也可能讓一座橋梁的設計出現偏差，竣工後不堪一擊，釀成安全事故。
貝奇本人就曾深受對數表中錯誤資料的困擾，他曾不止一次感歎：“我真希望這些繁瑣的計算，能用蒸汽來完成！”
正是這份對資料精確性的極致追求，以及對人工計算弊端的深切體會，讓他萌生了一個前所未有的念頭——用機器替代人工，完成計算與數表印製的工作，從根本上杜絕人為誤差。
於是，貝奇潛心鑽研，設計出了差分機的雛形。
這台機器的核心思想的是“差分法”，這個方法極為巧妙，成功避開了複雜繁瑣的乘法和除法運算，隻需通過重複的加法操作，就能精準計算出多項式的值，大大降低了計算的難度與誤差。
它的基本原理並不複雜：對於一個N次多項式，其N次差分是一個恒定不變的常數。
而東宋航海、天文等領域常用的對數函式、三角函式等，都可以通過多項式展開的方式進行逼近。
因此，隻要給機器輸入幾個關鍵的初始值，它就能夠通過反覆的機械加法運算，自動、快速且準確無誤地生成一長串函式值，完美替代人工計算。
為了讓人們更直觀地理解差分機的工作原理，我們可以看一個簡單的例子。
以函式F(x)=x² x 28為例：
一次差分ΔF(x)= F(x 1)- F(x)= 2x 2；
二次差分Δ²F(x)=ΔF(x 1)-ΔF(x)= 2（這是一個恒定不變的常數）。
隻要知道F(0)、ΔF(0)和這個常數2，就可以像滾雪球一樣，通過連續的加法運算，一步步得出F(1)、F(2)、F(3)……的所有數值。
這個過程，就像是在玩一個數字版的“多米諾骨牌”，隻要推倒第一塊，後麵的數字就會按照規律自動生成，無需人工乾預。
我們可以將函式F(x)=x² x 28的整個計算過程，拆解成三步，清晰理解其邏輯：
第一步：理解“差分”。
“差分”簡單來說，就是相鄰兩個計算結果之間的差值。
一次差分(ΔF)，就像是爬樓梯時，從當前台階到下一個台階，上升的高度；二次差分(Δ²F)，則是看看“上升的幅度”本身如何變化，也就是相鄰兩個“一次差分”之間的差值。
第二步：計算初始值（也就是我們需要的那“第一塊骨牌”）。根據函式公式，我們先算出開頭幾個數值，就能找出其中的規律，具體如下表所示：
x | F(x)=x² x 28 | 一次差分(ΔF) | 二次差分(Δ²F)
0 | 28 | F(1)-F(0)= 30 - 28 = 2 | -
1 | 30 | F(2)-F(1)= 34 - 30 = 4 | 4 - 2 = 2
2 | 34 | F(3)-F(2)= 40 - 34 = 6 | 6 - 4 = 2
3 | 40 | ...... | ......
從這個表格中，我們能提取出三個最關鍵的數字，這也是差分機計算的核心：
F(0)= 28：這是整個計算的起點，是所有後續數值的基礎；
ΔF(0)= 2：這是從x=0到x=1的第一個“一次差分”，是第一步加法的關鍵；
二次差分= 2：這是一個恒定不變的常數，也是二次函式的核心特征，正是這個常數，讓連續加法計算成為可能。
舉個例子，我們用差分法計算F(4)的值。按照傳統方法，我們需要計算4² 4 28 = 16 4 28 = 48；但如果用差分機的思路，隻用加法就能完成：
已知：F(3)= 40；
第一步：計算ΔF(2)。我們已知ΔF(1)=4，二次差分是2，因此ΔF(2)=ΔF(1) 2 = 4 2 = 6；
第二步：繼續推算ΔF(3)，ΔF(3)=ΔF(2) 2 = 6 2 = 8；
第三步：有了從x=3到x=4的差值ΔF(3)=8，就能算出F(4)= F(3) ΔF(3)= 40 8 = 48。
整個過程，全程隻用到了加法運算，冇有進行任何複雜的乘方運算（比如4²）。
要知道，機器可以輕鬆完成簡單的加法，卻難以處理複雜的乘方、乘法運算，而貝奇的差分法，恰好解決了這一核心難題，讓機器計算成為現實。
這一年，貝奇已經成功製造出了一台小型差分機模型。
這台模型機可以處理3個5位數，精度達到6位小數，能夠精準計算出平方表和一些簡單的多項式。
這個小小的成功，讓貝奇信心大增，隨即向朝廷提議，建造一台更大規模的差分機——一台能處理20位數、配備7個20位暫存器的大型差分機。
清華書院的眾人，一眼就看到了這項技術在編製天文表、航海表等領域的巨大潛力，可同時，他們也清晰地看到了背後的巨大難題：這台大型差分機，預計需要25000個零件，整體重量可達數噸；更嚴苛的是，許多關鍵零件的誤差不能超過每寸千分之一，這樣的精度要求，在當時的工業水平下，幾乎是不可能完成的任務。
東宋的道學官員們，在道學領域的造詣極高，即便在某些專門的技術領域或許存在不足，但隻要有人提出質疑、點出關鍵問題，官員們很快就能明白其中的要害。
清華書院的資金來源，主要依靠工部和戶部的撥款，而這兩個部門的官員，在權衡利弊後，都不同意撥款支援貝奇的大型差分機專案。
靠山不支援，清華書院自然也無法給貝奇提供足夠的資金。
貝奇對此深感失望，心中忍不住暗罵：朝堂上的這些官員，根本不配稱為道學大師，一個個眼中隻有利益得失，絲毫冇有對道學研究的執著與追求，全都是利慾薰心的奸佞之徒！
失望歸失望，貝奇並冇有放棄自己的想法。
冇辦法，他隻好轉而尋找其他書院，看看有冇有人願意資助自己的研究，而他的首選，便是格物書院。
世人皆知，清華書院側重物理研究，格物書院側重化學研究，但在數學領域，兩者卻是並駕齊驅，實力不相上下。
貝奇專程前往格物書院，見到了書院的道長，當著他的麵，親自演示了自己製作的差分機模型，用這台小小的機器，成功演算出了好幾種常用的函式表。
看著機器快速、精準地生成出準確無誤的《數學用表》，格物書院的道長陷入了沉默——他清楚地知道，這樣的工作量，若是用算盤計算，需要上百人花費大量時間才能完成；若是真如貝奇所說，那台能處理20位數、配備7個20位暫存器的大型差分機研製成功，將會給道學研究、航海、工程等諸多領域，帶來不可估量的便利。
格物書院與清華書院，有著本質的不同。
清華書院的資金來源於朝廷，每一筆撥款都需要經過嚴格的稽覈，考量專案的可行性與實際收益；但格物書院不一樣，它的資金審批，始終來自皇家商會，而負責審批皇家商會資金的，正是趙棫本人。
趙棫雖說文武雙全，有著強壯的體魄和聰慧的頭腦，但自從登基之後，他的心思便漸漸偏離了道學，如今腦子裡裝的，大多是各大宗教的教義，對於最前沿的道學研究，已經知之甚少。
可偏偏，趙棫向來“崽花爺錢不心疼”，對皇家商會的資金審批極為寬鬆，隻要格物書院的整體水平在穩步提升，無論是什麼研究專案，大多都會批準。
這就導致，格物書院的道長在評價一個研究專案時，不會過分糾結於它的收益高低和可行性難度，而更多地會考慮，這個專案一旦研製成功，能帶來多大的效果，能推動道學與社會發展多少。
而貝奇的差分機，其潛在的效果無疑是恐怖的，足以改變諸多領域的發展格局。
思索片刻後，道長看向貝奇，直截了當地問道：“你研製這台大型差分機，需要多少資金？”
貝奇心中忐忑不安，小心翼翼地回答：“大概需要四千五百兩白銀。”
“這麼少？”道長臉上露出了驚訝的神色，隨即爽快地說道，“正好格物書院目前還有資金空餘，這筆錢，就給你了。”
貝奇聞言，大喜過望，心中暗自感慨：果然還是官家支援的書院，這份氣魄，根本不是清華書院能比的！
後世的學者在評價這台大型差分機時，大多認為，它是計算機的早期雛形，貝奇的設計思想，具有跨時代的重大意義。
而東宋這台差分機的研製，也標誌著第三次工業革命的萌芽，在這片土地上悄然出現。